必须重建微积分

《前沿科学》顶着压力发表了我的《浅谈现行微积分原理的错误》、《略论作为微积分原理完善的实变函数》和《如何正确讲授微分》等三篇小文章，有证据显示，我国的数学院士大多看了《浅谈现行微积分原理的错误》一文，而且，也只是从查找他们想象作者可能存在的错误角度看的，并没有琢磨作者的数学战略思想，至于后两篇文章大多都没去看。

2016年6月，一名校主持日常工作的领导指示数学科学学院的教授（院士几乎都参加了）批驳我的《浅谈现行微积分原理的错误》，结果当然是以失败告终，相反，他们不得不重新规范本校微积分课程的讲法，当然，躲躲闪闪的新讲法仍然是错误的。

《浅谈现行微积分原理的错误》一文把整个世界微分的典型讲法都一一予以批驳了，程天权教授的张量定义微分的讲法的好处在于统一了一元与多元，但逻辑上仍然是说不通的，也就是说，现行微积分原理中的微分的讲法都是错误的，而不是“说不清楚”，“错误”与“说不清”不是一回事。如果有谁仍然认为现行微积分原理中的微分不是“错误的”而是“说不清”，那么，这样认为的人不妨去把它说清楚。

有的数学院士认为，即使现行微积分原理中的微分部分是错误的也无所谓，原因是取消微分仍然可以有微积分原理，或者说没有微分的微积分原理仍然在逻辑上可以自圆其说，而且，没有微分微分方程照样可以解。这种观点有如下几个不妥：

第一，现行微积分原理是以柯西为核心，中间经过黎曼、维尔斯特拉斯、达布等几位数学家严格化的牛顿思路下的微积分原理。这个微积分原理面对微分方法是无奈的，因此，在无奈下又拼凑了莱布尼兹的微分。这个微积分原理不仅结构扭曲，而且，存在着多处根本性错误。

既然其微分是拼凑的，那么，去掉微分部分肯定会减少错误，可是，这个微积分原理已经严重萎缩，几乎可以认为失去原理的意义。

第二，什么是无穷小？无穷小是以0为极限的变量。如果这个变量是静态的，那么，它就无所谓趋近于0。一个异于0的确定量是不可以“切线替代弧线”或者恣意“舍弃”的。如果无穷小是动态量，那么，现行代数学没有它的运算规则，把它当作静态量予以运算是恣意妄为。

第三，即使是新建的微积分原理，只要没有微分，或者认为舍弃微分也无所谓，那么，这个微积分原理至少是不满足现行科学要求的微积分原理。

当今世界的主流数学工作者群体中没有帅型数学家，即使是将型数学家中也没有十八般兵器无所不通的，而其中大多也只是会使一、两样兵器的。这种现象在中国尤甚，不仅如此，中国的主流数学工作者否认帅型数学家的意义。在他们看来，诸葛孔明不过是军中多余的人，因为他既不能像张飞那样吓退曹操百万兵，也不能像关羽那样青龙偃月刀下血肉横飞。七十年来世界数学界没有大成就的根本原因就在于此。试想，没有笛卡尔、牛顿和莱布尼兹这样的大帅型数学家，怎么可能有近代数学？没有克莱因、庞加莱和希尔伯特（尽管希尔伯特有一些欺诈行为）这样一些中帅型数学家，怎么可能产生现代数学？现在，就连外尔这样的小帅型数学家也没有了。这是数学界的悲哀，也是人类的悲哀。不可轻视一般哲学，尤其不可轻视数学哲学，否则，数学就会迷失方向。

数学哲学思想的欠缺，使得我们的数学工作者连什么是“原理”以及为什么要建立“原理”都弄不明白。对于微积分方法，马克思早就一针见血地指出：“这种算法通过肯定不正确的数学途径得出了正确的（尤其在几何应用上是惊人的）结果。”微积分方法的行之有效不需要柯西以及他之后的数学工作者再告诉谁，然而，不管是牛顿、莱布尼兹、欧拉以及柯西，还是柯西以后的数学工作者，都不能回答，至少是不能全面准确地回答这种不正确的数学途径所得到的方法何以放之四海而皆准。人类需要知道为什么这种不正确的数学途径所得到的方法何以放之四海而皆准，也需要借助于这些机理优化已有方法并揭示更多微积分方法，这里所说的机理就是微积分原理。也就是说，微积分原理是解释微积分方法行之有效的原因的数学演绎体系。

微积分方法主要包括导数、微分、不定积分和定积分等方法（其实，其核心是微分，因为导函数不过是微商，积分不过是微分的逆过程。其中不定积分与定积分是同一个数学构造，其区别只在于一个积分限任意，一个积分限确定。这就是莱布尼兹的微积分原理。后人藐视莱布尼兹所做的工作，其所怀疑的对象就是莱布尼兹的微分，可这些人没有注意到当时还没有函数这一概念。柯西没有能力理解莱布尼兹的伟大贡献，只好借助于极限思想建立这个蹩脚的牛顿思路的微积分原理，正因为这些，我们只好对微积分方法做如上概括），作为衍生又形成了微分方程和积分方程方法，以及微分几何方法等。当然，我们还不能忽视泛函数的微积分方法，以及复数、向量、张量、矩阵，甚至还有哈密顿四维数上的微积分方法。

面对如上光怪陆离的微积分方法，我们要对现行微积分原理发问，你这个逻辑错误百出的结构扭曲的微积分原理对于如此丰富的微积分方法行之有效的原因予以全面而准确地解释了吗？还不要说现行微积分原理中的微分部分完全是错误的，即使不错误，现行微积分原理能解释作为现代科学支柱的虚位移原理为什么正确吗？本来虚位移原理作为一种方法的科学性和精确性是不容怀疑的，可是到了现行微积分原理这里反倒成了近似的东西了，这不荒唐吗？还有一种观点说，没有微分微分方程照样解，只要取消微分部分，现行微积分原理就没问题了。这里且不说这种削足适履的思想方法可取与否，我们要问一切没有微分的微积分原理，没有微分又怎么会有变分？没有微分和变分整个现代数学和物理学会萎缩成什么样子？我们数学科学工作者的义务是让科学茁壮成长还是让科学枯萎？

也许有人还会说，没有虚位移原理用传统方法现代力学照样可以建立起来。我们不能赞同这种观点，这就好比说一切有解的微分方程都可解，可是，不借助于特定的方法人们又能够解几个微分方程呢？还不要说时至今日人类也解不了多少微分方程。

总而言之，不要说现行微积分原理逻辑错误迭出，即使它是正确的，它也回答不了现行微积分方法何以正确，比如，回答不了虚位移原理何以正确，更没有揭示更多微积分方法和优化传统微积分方法。现行微积分原理严重制约着数学和整个科学发展，加之能满足现行微积分方法要求的微积分原理还没有诞生，不重建微积分原理不行啊！这是数学乃至整个科学发展的需要。